【速報】最大888連ガチャは実際のところ何連引くことができるのか【祝8周年】

どーも、THでございます。お久しぶりでございます。

今回は、スマートフォン向けゲームアプリ「クイズRPG 魔法使いと黒猫のウィズ」（通称：黒ウィズ）がこの度8周年を迎え、「最大888連無料ガチャ」が開催されますので、期待値を計算してみようと思います。

※一個人の考察となるため、信じるかどうかは自己責任でお願いします。

詳細な導出は前年記事を参考にしていただくとして、

このガチャの現時点で判明している仕様は以下の通り。

期間は10日間
各日の初回10連ガチャ後、1回目の「継続チャレンジ」が発生
「継続チャレンジ」に成功すれば10連ガチャをもう一度引くことが可能
「継続チャレンジ」は10連ガチャを引くたびに発生
「継続チャレンジ」に失敗した時点でその日のガチャは終了
最大888連まで引くことが可能
端数の8連分は確定で引ける単発
9日目まで初回の「継続チャレンジ」に全て失敗している場合は、最終日の初回の「継続チャレンジ」は必ず成功する。

※前年記事→

th53439830.hatenablog.com

よって最大888連の内、

単発となる8連分
各日初回10連×10日分＝100連分
「継続チャレンジ」の成功が保証されている1回分＝10連分

は確率計算から除外される。

888連から上記除外分の118連を除くと770連となるため、前回同様、

『「継続チャレンジ」の10回目の失敗までに何回成功できるか』に着目して計算する。

77回目の成功でそれまでの失敗回数にかかわらず強制終了となるため、

成功回数76回以下で失敗回数が10回に達して終了する場合
失敗回数9回以下で成功回数が77回に達して終了する場合

の2つで場合分けを行う。

なお、以降では「継続チャレンジ」の成功確率は試行回数にかかわらず、

一定値 $p (0\lt p\lt 1)$ であるとする。

成功回数76回以下で失敗回数が10回に達して終了する場合

※最後の判定は必ず「失敗」となる。

0回成功： $\displaystyle _{9}\textrm{C}_{0}(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

1回成功： $\displaystyle _{10}\textrm{C}_{1}p(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

2回成功： $\displaystyle _{11}\textrm{C}_{2}p^{2}(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

︙

$n$ 回成功： $\displaystyle _{n+9}\textrm{C}_{n}p^n(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

︙

76回成功： $\displaystyle _{85}\textrm{C}_{76}p^{76}(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

失敗回数9回以下で成功回数が77回に達して終了する場合

※最後の判定は必ず「成功」となる。

0回失敗： $\displaystyle _{76}\textrm{C}_{0}p^{76}\cdot p$

1回失敗： $\displaystyle _{77}\textrm{C}_{1}(1-p)p^{76}\cdot p$

2回失敗： $\displaystyle _{78}\textrm{C}_{2}(1-p)^{2}p^{76}\cdot p$

︙

$n$ 回失敗： $\displaystyle _{n+76}\textrm{C}_{n}(1-p)^{n}p^{76}\cdot p$

︙

9回失敗： $\displaystyle _{85}\textrm{C}_{9}(1-p)^{9}p^{76}\cdot p$

したがって、求める期待回数は、

\begin{align}
E=&\sum_{k=0}^{76}{\left\{k\cdot_{k+9}\textrm{C}_{k}p^k(1-p)^{10}\right\}}+77\sum_{k=0}^{9}{\left\{_{k+76}\textrm{C}_{k}(1-p)^{k}p^{77}\right\}}
\end{align}

となる。

更に、今回は継続確率が $p=0.8$ と明言されているので、

\begin{align}
E=&\sum_{k=0}^{76}{\left\{k\cdot_{k+9}\textrm{C}_{k}\left(\frac{4}{5}\right)^k\left(\frac{1}{5}\right)^{10}\right\}}+77\sum_{k=0}^{9}{\left\{_{k+76}\textrm{C}_{k}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}\left(\frac{4}{5}\right)^{77}\right\}}
\end{align}

となる。

これをソフトウェアに計算させると、

\begin{align}
E&=\frac{2062636427443882815003221383742311557621049144235817923694504}{51698788284564229679463043254372678347863256931304931640625}\\
&\fallingdotseq 39.8971909378
\end{align}

で、最終的には期待値 $516.97191$ 連となる。