偏差値181億に真剣に立ち向かう話（4・終）―科学的アプローチによるゴリ押し―

※この記事はMathJaxおよび $\LaTeX$ を使用しています。

今回は下記記事の続き、「科学的アプローチ」についてとなります。

th53439830.hatenablog.com

前回は、関数

\begin{align}
f(x)=\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-50)^{2}}{200}\right)
\end{align}

を用いた定積分

\begin{align}
S(a)=\int_{a}^{\infty}f(x)dx
\end{align}

によって評価を行ったが、それでも限界はあった。

なので、別の計算しやすい図形または数式が必要となる。

別の簡単な図形を尺度として利用できるか検証する

下図のような点 ${\rm P}(a,f(a))$ における $f(x)$ の接線を用いた三角形 ${\rm PQR}$ の面積を $S(a)$ の尺度として扱えるかを考えてみる。

f:id:TH53439830:20200420183953p:plain

$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は、

\begin{align}
f'(x)&=\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-50)^{2}}{200}\right)\cdot\left\{-\frac{(x-50)^{2}}{200}\right\}'\\
&=-\frac{x-50}{1000\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-50)^{2}}{200}\right)
\end{align}

であり、点 ${\rm P}(a,f(a))$ における $f(x)$ の接線は、

\begin{align}
y=(x-a)f'(a)+f(a)
\end{align}

であるから、点 ${\rm R}$ の $x$ 座標 $x_0$ は、

\begin{alignat}{2}
&(x_0-a)&&f'(a)+f(a)=0\\
&\!\!\!\iff x_0\!&&=a-\frac{f(a)}{f'(a)}\\
&&&=a-\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\cdot-\frac{1000\sqrt{2\pi}}{a-50}\\
&&&=a+\frac{100}{a-50}
\end{alignat}

となる。よって、

\begin{align}
T(a)&=\triangle{\rm PQR}=\frac{1}{2}\cdot(x_0-a)f(a)\\
&=\frac{50}{a-50}f(a)
\end{align}

とし、 $S(a)$ との比が一定値に収束するかを以下の式を用いてWolfram Alphaにて調査する。

\begin{align}
\frac{S(a)}{T(a)}=\frac{\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)dx}{\dfrac{50}{a-50}f(a)}=\frac{(a-50)\displaystyle\int_{a}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-50)^{2}}{200}\right)dx}{50\exp\left(-\dfrac{(x-50)^{2}}{200}\right)}
\end{align}

f:id:TH53439830:20200502192627p:plain

f:id:TH53439830:20200502192651p:plain

どうやら $T(a)$ と $S(a)$ の比は1：2になるようである。よって、新しい評価式 $P(a)$ を

\begin{align}
P(a)&=2T(a)\\
&=\frac{100}{a-50}f(a)\\
&=\frac{10}{(a-50)\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(a-50)^{2}}{200}\right)
\end{align}

と定め、評価を再開することにする。

Level3：偏差値＝111,081を再計算する

f:id:TH53439830:20200502194607p:plain

計算結果は上位6.8851×10^-26769661%ということで前回と同じ。何ら問題はなさそうなので先へ進むとしよう。

Level4：偏差値＝18,111,081

f:id:TH53439830:20200502195213p:plain

Why?

$\exp(x)$ ですらオーバーフローになるのであれば、別の手段を使うしかないっ……！

科学分野では極稀に、

\begin{align}
2^{10}=1024\fallingdotseq10^3
\end{align}

という近似を用いることがある。ここでは、

\begin{alignat}{2}
e^{-65}&=5.90009\cdots\times10^{-29}&&\fallingdotseq5.9\times10^{-29}\\
5.9^{48}&=1.00206\cdots\times10^{37}&&\fallingdotseq1.0\times10^{37}
\end{alignat}

を用いて計算を簡便にする。なお誤差については今後ノークレームでお付き合い願いたい。

\begin{align}
\frac{(18111081-50)^2}{200}&=\frac{328009443882961}{200}\\
&=25231495683\times65+\frac{3961}{200}\\
25231495683&=525656160\times48+30
\end{align}

より、

\begin{align}
&\exp\left(-\frac{(18111081-50)^{2}}{200}\right)\\
&\fallingdotseq(5.9\times10^{-29})^{25231495683}\exp\left(-\frac{3961}{200}\right)\\
&=5.9^{30}\times10^{19449277920}\times10^{-731713374807}\exp\left(-\frac{3961}{200}\right)\\
&=5.9^{30}\exp\left(-\frac{3961}{200}\right)\times10^{-712264096887}
\end{align}

なので、

\begin{align}
P(18111081)&\fallingdotseq\frac{10\cdot5.9^{30}}{18111031\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\left(-\frac{3961}{200}\right)\times10^{-712264096887}\\
&\fallingdotseq7.3676\times10^{-712264096880}
\end{align}

すなわち偏差値18,111,081はおおよそ上位7.3676×10^{-712264096878}%となる。比較する相手が見つからないので先に進む。

Level5：偏差値＝18,118,111,081

先ほどと同様に、

\begin{align}
\frac{(18118111081-50)^2}{200}&=25251226717818760\times65+\frac{2961}{200}\\
25251226717818760&=526067223287890\times48+40
\end{align}

より、

\begin{align}
&\exp\left(-\frac{(18118111081-50)^{2}}{200}\right)\\
&\fallingdotseq(5.9\times10^{-29})^{25251226717818760}\exp\left(-\frac{2961}{200}\right)\\
&=5.9^{40}\times10^{19464487261651930}\times10^{-732285574816744040}\exp\left(-\frac{2961}{200}\right)\\
&=5.9^{40}\exp\left(-\frac{2961}{200}\right)\times10^{-712821087555092110}
\end{align}

なので、

\begin{align}
P(18118111081)&\fallingdotseq\frac{10\cdot5.9^{40}}{18118111031\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\left(-\frac{2961}{200}\right)\times10^{-712821087555092110}\\
&\fallingdotseq 5.5866\times10^{-712821087555092096}
\end{align}

すなわち偏差値18,118,111,081はおおよそ上位5.5866×10^{-712821087555092094}%となる。

%表記における指数部は10の「マイナス71京2821兆0875億5509万2094」乗である。

仏典「華厳経」に記されている巨大数を用いて近い数値を表現するなら、

\begin{align}
P(18118111081)\fallingdotseq 5.5866\times\dfrac{\hspace{-1.3em}1\text{阿麼怛羅}}{1\text{奚麼怛羅}\times1\text{那麼怛羅}\hspace{2.6em}}
\end{align}

辺りだろう。流石に悟りを開いているだけあるわ……*1

参考：Wikipedia

命数法#仏典の数詞 - Wikipedia

まとめ

下表に、各手法での計算結果をまとめておく。

	偏差値	上位◯％
	偏差値	統計学的アプローチ	数学的アプローチ	科学的アプローチ
Level1	81	9.6760×10^-2	9.6760×10^-2	―
Level2	11,081	計算不可	2.3215×10^-264233	―
Level3	111,081	―	6.8851×10^-26769661	―
Level4	18,111,081	―	計算不可	7.3676×10^{-712264096878}
Level5	18,118,111,081	―	―	5.5866×10^{-712821087555092094}

中盤辺りからすでに天文学的数字の範疇を超えてしまっているが、こうして見ると、偏差値の桁数が1つ増えるごとに、確率の指数部の桁数が2つ増えていくようである。

このシリーズはこれにて終幕となりますが、MathJaxの記述方法等、ブログ執筆の点で学べることが多かったので、今後はそのあたりのまとめでも書いていこうかと思います。

では今回はこのへんで。

*1:ちなみに奚麼怛羅は「けいまたら」、那麼怛羅は「なまたら」、阿麼怛羅は「あまたら」と読むそうだ。