偏差値181億に真剣に立ち向かう話（3）―数学的アプローチによる検証―

※この記事はMathJaxおよびを使用しています。

今回は下記記事の続き、「数学的アプローチ」についてとなります。

th53439830.hatenablog.com

なお、これ以降では自然対数の底に対し、そのべき乗である関数を

\begin{align}
e^t=\exp(t)
\end{align}

と表記することにします。

偏差値の正体と前回使用した計算式との関係性

平均、分散（標準偏差）の正規分布を表す確率密度関数は

\begin{align}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\piσ^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2σ^{2}}\right)
\end{align}

であり、そのグラフは下図の通りである。

ここで、グラフと軸の間の面積について、

\begin{align}\int_{a}^{b}f(x)dx\end{align}

は確率変数が以上以下となる確率を表し、特に、

\begin{align}
\int_{\mu-σ}^{\mu+σ}f(x)dx\fallingdotseq0.6827,&\int_{\mu-2σ}^{\mu+2σ}f(x)dx\fallingdotseq0.9545,\\
\int_{\mu-3σ}^{\mu+3σ}f(x)dx\fallingdotseq0.9973,&\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1
\end{align}

である。今回取り扱う「偏差値」は平均が50、標準偏差が10なので、

\begin{align}
f(x)=\frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-50)^{2}}{200}\right)
\end{align}

となる。

したがって、前回取り上げた「1-CDF[NormalDistribution[50,10],]」との関係性は、

\begin{align}
1-{\rm CDF[NormalDistribution}[50,10],x]=\int_{x}^{\infty}f(t)dt
\end{align}

と表される。

Level1：偏差値＝81を再計算する

前回との差もなく大丈夫そうである。いよいよここからは未知の領域へ……

Level2：偏差値＝11,081

すなわち偏差値11,081は上位2.3215×10^-264233%となる。かの有名な大企業Google社の社名の由来となった巨大数グーゴルは10¹⁰⁰である。その2642乗分の1よりも小さいのである。とはいえ、統計学用関数から数式に切り替えたおかげで、前回超えられなかった壁を一つ越えたことに感謝して、次に進もう。

Level3：偏差値＝111,081

すなわち偏差値111,081は上位6.8851×10^-26769661%。もはや尺度も何もない状況である。

Level4：偏差値＝18,111,081

メッセージ：「Wolfram Alphaはクエリを理解できません」

Wolfram Alpha、2度目の敗北である。

誠に残念である（何が）。では偏差値いくつまでなら計算できるのか。

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どうやら100万ですら計算できない様子。これでは先へは進めないのも当然である。

現状のまとめ

下表に、現時点での計算結果をまとめておく。2つ進んだが2つ残ってしまった。

	偏差値	上位◯％
		統計学的アプローチ	数学的アプローチ
Level1	81	9.6760×10-2	9.6760×10-2
Level2	11,081	計算不可	2.3215×10-264233
Level3	111,081	―	6.8851×10-26769661
Level4	18,111,081	―	計算不可
Level5	18,118,111,081	―	―

今回はここまで。次回は「科学的アプローチ」で再々検証を行う予定である。