最大777連ガチャは実際のところ何連引くことができるのか

どーも、THでございます。

今回は、スマートフォン向けゲームアプリ「クイズRPG 魔法使いと黒猫のウィズ」（通称：黒ウィズ）にて本日3/7（土）から開始される「最大777連無料ガチャ」について、私なりに期待値を計算して見ようと思います。

※一個人の考察となるため、信じるかどうかは自己責任でお願いします。

このガチャの現時点で判明している仕様は以下の通り。

期間は10日間
各日の初回10連ガチャ後、1回目の「継続チャレンジ」が発生
「継続チャレンジ」に成功すれば10連ガチャをもう一度引くことが可能
「継続チャレンジ」は10連ガチャを引くたびに発生
「継続チャレンジ」に失敗した時点でその日のガチャは終了
最大777連まで引くことが可能
端数の7連分は確定で引ける単発
9日目まで初回の「継続チャレンジ」に全て失敗している場合は、最終日の初回の「継続チャレンジ」は必ず成功する。

よって最大777連の内、

単発となる7連分
各日初回10連×10日分＝100連分
「継続チャレンジ」の成功が保証されている1回分＝10連分

は確率計算から除外される。

777連から上記除外分の117連を除くと660連となるため、今記事では、

『「継続チャレンジ」の10回目の失敗までに何回成功できるか』に着目して計算する。

66回目の成功でそれまでの失敗回数にかかわらず強制終了となるため、

成功回数65回以下で失敗回数が10回に達して終了する場合
失敗回数9回以下で成功回数が66回に達して終了する場合

の2つで場合分けを行う。

なお、以降では「継続チャレンジ」の成功確率は試行回数にかかわらず、

一定値 $p (0\lt p\lt 1)$ であるとする。

成功回数65回以下で失敗回数が10回に達して終了する場合

※最後の判定は必ず「失敗」となる。

0回成功： $\displaystyle _{9}\textrm{C}_{0}(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

1回成功： $\displaystyle _{10}\textrm{C}_{1}p(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

2回成功： $\displaystyle _{11}\textrm{C}_{2}p^{2}(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

︙

$n$ 回成功： $\displaystyle _{n+9}\textrm{C}_{n}p^n(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

︙

65回成功： $\displaystyle _{74}\textrm{C}_{65}p^{65}(1-p)^{9}\cdot(1-p)$

失敗回数9回以下で成功回数が66回に達して終了する場合

※最後の判定は必ず「成功」となる。

0回失敗： $\displaystyle _{65}\textrm{C}_{0}p^{65}\cdot p$

1回失敗： $\displaystyle _{66}\textrm{C}_{1}(1-p)p^{65}\cdot p$

2回失敗： $\displaystyle _{67}\textrm{C}_{2}(1-p)^{2}p^{65}\cdot p$

︙

$n$ 回失敗： $\displaystyle _{n+65}\textrm{C}_{n}(1-p)^{n}p^{65}\cdot p$

︙

9回失敗： $\displaystyle _{74}\textrm{C}_{9}(1-p)^{9}p^{65}\cdot p$

したがって、求める期待値は、

\begin{align}
E=&\sum_{k=0}^{65}{\left\{k\cdot_{k+9}\textrm{C}_{k}p^k(1-p)^{10}\right\}}+66\sum_{k=0}^{9}{\left\{_{k+65}\textrm{C}_{k}(1-p)^{k}p^{66}\right\}}
\end{align}

となる。この式を人力で展開するわけにはいかないのでWolfram Alphaに入れてみる。

f:id:TH53439830:20200306225335p:plain

下にスクロールして……

f:id:TH53439830:20200306225528p:plain

どうやら66次以下の項はまとめられそう*1である。よって、

\begin{align}
E=&10p\cdot\frac{1-p^{66}}{1-p}-142466675890p^{67}\\
&+1102021640060p^{68}-3731643123340p^{69}\\
&+7224663673700p^{70}-8746853981140p^{71}\\
&+6781010405510p^{72}-3287285224190p^{73}\\
&+911077432210p^{74}-110524147514p^{75}
\end{align}

となる。

以下に、0.1刻みの $p$ の値ごとのおおよその期待ガチャ数を示す。なお、実際のガチャ回数は10 $E$ +117なので注意。